Proseminar Fraktale: Maß und Dimension
Vorbesprechung
mit Vergabe der Vortragsthemen:
Mo., 28.03.2022, 13:15 - 14:45
INF 205, SR 8
Bei späteren Fragen kontaktieren Sie mich bitte per Mail.
Sie können sich bereits vorab in Müsli registrieren.
Termin
freitags, 09:00 - 11:00
in Seminarraum 8 (INF 205/Mathematikon)
Voraussetzungen
Voraussetzung ist die Grundvorlesung Analysis 1. Außerdem werden elementare Begriffe aus dem Bereich metrischer Räume und der Topologie des Rn (z.B. aus Analysis 2, kann parallel besucht werden) benötigt.
Inhalt
Obwohl spätestens seit Mitte des 19. Jahrhunderts bekannt, fristeten Fraktale in der Mathematik lange ein Nischendasein als pathologische Gegenbeispiele. Die Suche nach solchen Gegenbeispielen war auch die Motivation für die Konstruktion etwa der Cantor-Mengen, der Weierstraß-Funktion oder der Peano-Kurven. Erste systematische Untersuchungen wurden dann im frühen 20. Jahrhundert durchgeführt, als Minkowski, Bouligand und Hausdorff neue Dimensionsbegriffe einführten, die nicht ganzzahlige Dimensionen erlaubten. Doch auch diese Begriffe blieben lange weitgehend unbeachtet - abseits der Arbeiten von Besicovich, der gezielt die Dimension und Geometrie zahlreicher Mengen untersuchte. Die Bezeichnung Fraktal wurde hingegen erst um 1975 durch Benoît Mandelbrot geprägt, und obwohl bis heute keine feste Definition besteht, ist die fraktale Geometrie seither - auch dank der Verfügbarkeit immer leistungsfähiger Rechner - stärker ins Zentrum der mathematischen Forschung gerückt. Ihren Charme als Gegenbeispiele zur Schärfung unserer mathematischen Intuition haben Fraktale dabei keineswegs verloren.
Tatsächlich werden wir im Rahmen dieses Proseminars auf Begriffe und Aussagen der Analysis, der Geometrie, der Topologie und anderer Gebiete der Mathematik zurückgreifen, um Fraktale zu konstruieren und deren Wesen zu erfassen. Umgekehrt finden sich immer mehr Anwendungen innerhalb der Mathematik (neben der offensichtlichen Geometrie auch in der Zahlentheorie, Analysis, Algebra und Wahrscheinlichkeitstheorie), aber auch in Physik, Biologie, Medizin, Wirtschaftswissenschaft, Computergraphik, Geologie, Meteorologie und zahlreichen anderen Bereichen von Wissenschaft und Technik. Naturgemäß können wir die meisten dieser Themengebiete im Rahmen eines einzelnen Proseminars bestenfalls streifen.
Zunächst werden wir ein paar Beispiele fraktaler Mengen erkunden und deren elementare Eigenschaften untersuchen. Danach werden wir einige Grundlagen der (naiven) Mengenlehre und Topologie (von Teilmengen des euklidischen Rn) rekapitulieren und einige Grundbegriffe der Maßtheorie einführen, um die nötigen Dimensionsbegriffe entwickeln zu können. Dann kommen wir zur systematischen Konstruktion von Fraktalen und werden sehen, wie sich diese Mengen aus Grenzprozessen mit ganz unterschiedlichen Ausgangspunkten ergeben. Gewappnet mit unseren zuvor entwickelten theoretischen Grundlagen können wir die erhaltenen Fraktale nun genauer untersuchen.
Themenliste
Die Themen sind den Büchern [1] und [4] entnommen.
| Termin | Titel | Ref. |
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22.04. |
Einführende Beispiele 1 | [1] Abschnitte 2.1-2 |
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29.04. |
Einführende Beispiele 2 | [1] Abschnitt 2.3-5 |
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06.05. |
Transformationen der reellen Achse | [4] Abschnitt 3.1 |
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13.05. |
Affine Transformationen der Ebene | [4] Abschnitt 3.2 |
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20.05. |
Der Raum der Fraktale | [4] Abschnitt 2.6 |
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27.05. |
Vollständigkeit des Raums der Fraktale | [4] Abschnitt 2.7 |
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03.06. |
Kontraktionen und Kontraktionsprinzip | [4] Abschnitte 3.5-7 |
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10.06. |
Konstruktion von Fraktalen, Kondensation | [4] Abschnitte 3.8-9 |
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17.06. |
Erste Dimensionsbegriffe | [1] Abschnitte 2.6, 4.2-3 |
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24.06. |
"Fraktale" Dimension, Quadrate zählen | [4] Abschnitt 5.1 |
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01.07. |
Berechnung von Dimensionen | [4] Abschintte 5.2-3 |
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08.07. |
Die Hausdorff-Dimension | [4] Abschnitt 5.4 |
| 15.07. | Das Chaos-Spiel |
[1] Abschnitte 6.1-2 |
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22.07. |
Fraktale mit etwas Zufall | [1] Abschnitte 9.1-9.3 |
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29.07. |
Brownsche Bewegung als Fraktal | [1] Abschnitte 9.4-9.5 |
Anforderungen
Zu einem Thema halten Sie einen Vortrag von ca. 60 Minuten plus Diskussion. Die Vorträge werden an der Tafel gehalten, dazu wird eine Zusammenfassung (höchstens eine A4-Seite) für das Publikum erstellt. Eine Besprechung zu Ihrem Thema ca. eine Woche vor Ihrem Vortrag gehört zur Vorbereitung. Denken Sie daran, rechtzeitig einen Termin zu vereinbaren. Neben dem eigenen Vortrag ist die rege Teilnahme an der Diskussion zu den anderen Vorträgen ausdrücklich erwünscht.
Gebiete
Angewandte Mathematik, Stochastik, Analysis
Literatur
[1] H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science, Springer (1992)
[2] K. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, Wiley (2014)
[3] D. Gulick, Encounters with Chaos and Fractals, Chapman and Hall/CRC (2012)
[4] M. Barnsley, Fractals Everywhere, Academic Press (1988)
